Hazırlayan
İbrahim Yumuşak
Matematik Öğretmeni
DOĞADAKİ MATEMATİK
Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız değildir. Etrafımızdaki her şey aynı zamanda sayılarla da tanımlanabilir ve anlaşılabilir. Örneğn gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Rakamları hangi sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar.
Kısacası, Matematik doğanın dilidir.
İşte bunlara örnekler.
Bir sığırın canlı ağırlığı
Bir sığırın canlı ağırlığını bulmak için, göğüs çevresinin karesi ile vücut uzunluğu ve 87,5 kat sayısı çarpılır.
P= c2.h.87,5
(C: Göğüs çevresi, h: vucut uzunluğu, p: sığırın canlı ağırlığı.)
Çır çır böceği ile hava sıcaklığı arasındaki ilişki
Çır çır böceğinin sesleri ile hava sıcaklığı arasında bir ilişki vardır. Dolayısıyla hava sıcaklığını aşağıdaki formül ile fahranayt cinsinden bulabiliriz.
T= 0,3.N+40
(T: hava sıcaklığı, N: çırçır böceğinin bir dakikada çıkardığı ses sayısı)
Eşkenar üçgen ve kar tanesi
Bir eşkenar üçgenin her kenarının ortasındaki üçte birlik kısmı alın. Bunlarla şekildeki gibi yeni bir üçgen oluşturun. Yeni üçgen şekil olarak aynı ve büyüklük olarak ilkinin üçte biri kadardır. Böylece devam edildiğinde, ideal bir kar tanesi elde edersiniz.
Veya
Doğadaki her şeyin birbirleriyle ilişkisi
Örneğin bir gölün alanını bulma ile bir taşın yukardan düşme hızı arasında bir ilişki olabileceği çoğumuzun aklına gelmez. Ama böyle bir ilişkinin varlığını matematik ile anlayabiliyoruz. Gölün alanı integralle, taşın düşme hızı türev ile bulunur. Türev ise integralin tersidir.
Köpeklerin en uygun yolu seçmesi
Tim Pennings 2003 yılında yayımlanan makalesiyle, köpeği Elvis´in matematiksel analiz yaptığını dünyaya duyurmuştu. Suya atılan tenis topunun peşine düşen Elvis, çoğu zaman önce kumsal boyunca biraz koşup, daha sonra suya dalarak en kısa sürede topa ulaşıyordu. Bir başka deyişle, suda farklı, karada farklı hızla ilerleyebilen köpek, A noktasından B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için hangi noktada suya girmesi gerekiyorsa, o noktada suya atlıyordu.
Gezegenler ve matematik
Her gezegen odaklarından birinde güneşin bulunduğu eliptik yörüngede hareket eder ve gezegeni güneşe birleştiren çizgi, eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. Gezegenlerin yörüngelerinin ortalama yarıçapları yani herhangi bir gezegenin güneşe olan uzaklığı R ve yörüngedeki dönme periyotları T olmak üzere R³/T² oranı bütün gezegenler için aynıdır. Daha da önemlisi, bu ilişkinin ileride Newton’ un formüle edeceği yerçekimi yasasına sağladığı ipucudur. Oysa Kepler bu buluşuna, arayış içinde olduğu “kürelerin müzikal uyumunun” formülü gözüyle bakıyordu.
Arşimed spirali ve örümcek ağı
Örümceğin, merkezden başlayarak eşit uzaklık ve sürekli bir çizgi ile ördüğü ağ, bu spirale iyi bir örnektir.
Arılar ve altıgen
Arılar, peteklerini birim alanının tamamen kullanılması ve en az malzemeyle petek yapılması için altıgen şeklinde yapmaktadırlar. Ayrıca, bütün dişi bal arılarının yaptıkları petek gözeneklerinin açısı 70 derece 32 dakikadır.
Karıncalar ve vektörler
Sahra çölü karıncaları yön bulmada yol entegrasyon sistemini kullanırlar. Bu sistemde karınca, yuvadan çıktıktan sonra yaptığı yürüyüş ve dönüş hareketlerinin toplamını, yuvaya olan uzaklığını hesaplamak için kullanır. Karınca, yuvasına olan mesafeyi küçük segmentlere böler; her bir segment uygun yön ve uzaklık vektörünü taşır. Bu vektörlerin toplamıyla yuvanın uzaklık ve yönünü veren ‘homing’ vektörü elde edilmiş olur.
Pi Sayısı ve Doğa
Bütün çember şeklindeki şekillerin çevre uzunluğunu çapına(kalınlığına) böldüğümüzde pi sayısını elde ederiz. Pi sayısın basamaklarında hep bir ilişki aranmıştır. Örneğin:
- Pi sayısının sonsuza kadar devam eden basamaklarında 360. sırada 360 sayısı bulunmaktadır.
- Pi sayısının ilk 144 basamağının toplamı 666 ya eşittir. 144 ise (6+6)x(6+6) ya eşittir.
- Rasgele seçilen herhangi iki pozitif tam sayının aralarında asal olma olasılığı olarak bulunmuştur.
Atmosferik basınç ve pi Sayısı
Pi sayısını atmosferik basıncı kullanarak da yaklaşık olarak bulabiliriz. (Atmosferik basınç sayısı P= 0,101325)
= 3,14153
Filin yüksekliği ve pi sayısı
Bir filin ayağı daire şeklindedir ve ayağının çapını ölçüp 2 ile çarptığınızda filin yüksekliğini tahmin edebiliriz.
e sayısı ve doğa
1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ... + (1/n!) serisinin toplamı e sayısını verir. Yaklaşık değeri: e = 2.71828182... dir. Matematikteki üç ünlü sayıdan biridir. Diğer ikisi ve i sayılarıdır ve kendi aralarında çok güzel bir harmoni oluştururlar; ei =-1. Matematik ve Hayal kitabında E.Kasnar ve J.R.Newman, bu formül için şöyle derler: “Zarif, kısa ve anlam dolu. Uygulamalarının ise sonu gelmiyor. Formül, bilim adamına ve filozofa aynı derecede hitap ediyor”. Matematikçi B.Peirce ise bir gün derste bu formülü tahtaya yazdıktan sonra şöyle demişti: “Ne demek istiyor bilmiyoruz. Fakat onu kanıtladık”.
Ayrıca, e sayısının ilk altı basamağının, pi sayısının basamaklarında şu ana kadar sekiz kez tekrar ettiği bulunmuştur.
Doğada pek çok faaliyet e sayısındaki karekteristiğe sahiptir.
Örneğin, böcek bilimcisi J.H.Fabre Örümceğin Hayatı kitabında, örümcek ağlarının, su damlacıkları ile yüklenerek zincir eğrileri çizdiğini anlatır ve şöyle der: “... ve bu ağların şanını e sayısı oluşturuyordu”.
Fibonnaci Sayısı ve Doğa
Bu sayı, 1´den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir. Yani 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.... şeklinde ilerlemektedir. Çoğu kez Fibonacci dizisi olarak bilinen bu ünlü matematik dizisinin en çarpıcı yanlarından birisi, doğada tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır.
Papatyalar ve Fibonnaci sayısı
Papatyalar büyürken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.
Işığın yansıması ve Fibonnaci sayısı
Birbirine yapışık iki tabaka camda ışığın yansıması için şu kural vardır:
1.kere yansıması 2 biçimde
2.kere yansıması 3 biçimde
3.kere yansıması 5 biçimde…
Bunlar Fibonnaci sayılarıdır.
Fibonnaci sayısın pascal üçgeninde de görebilmekteyiz. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üçgenin köşegenlerindeki sayıları topladığınızda Fibonacci serisini verir.
Altın Oran ve Doğa
Doğada pek çok yapı altın oranı içerir.
Denizyıldızı ve altın oran
Altın Oran içeren eşkenar beşgeni denizyıldızında da buluyoruz.
DNA ve altın oran
DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır ve 34/21= 1.619 sayısını vermektedir.
Kar kristali ve altın oran
Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı altın oranı verir.
Ayçiçeği ve altın oran
Ayçiçeğinde yer alan ay çekirdekleri saat yönünde 55 adet, buna karşılık saat yönünün tersinde 89 adet bulunur ve 89/55=1,618 dir.
İdeal İnsan Vücudunda Altın Oran
Üst çene ve altın oran
Üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.
Kollar ve altın oran
İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır (üst bölüm ve alt bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.
Parmaklar ve altın oran
Aşağıdaki şekilde gördüğümüz dikdörtgen, altın bir dikdörtgendir. Dolambaçlı model olarak adlandırılan bu çizim pek çok yerde karşımıza çıkabilir. Hatta işaret parmağınızı kıvırın ve çıkan şekle bakın. Aşağıdaki şekilde altın dikdörtgende ortaya çıkan altın oranı görebilirsiniz.
Altın Dikdörtgen
İnsan boyu ve altın oran
Her insanın boy ölçüsünün göbek boyuna oranı yaklaşık olarak altın oran çıkmaktadır.
Bir insanın boyuna x diyelim. Göbek deliğinden yere olan yüksekliğe ise y diyelim. x/y=1.618 dir. Yani altın oran.
Yine her insanda ayak boyunun uzunluğu ile dirsek el arası uzunluğu eşittir.
İnsan kafası ve altın oran
Her insanın kafasında düğüm noktası denilen bir nokta vardır. Bu noktadan çıkan saçlar spiral bir eğri yaparak çıkmaktadır. Bu spiralin tanjantı altın oranı vermektedir.
Ayak boyu ile el arasındaki ilişki
Bir insanın bileği ve dirseği arasındaki mesafe, o kişinin ayak boyuna eşittir.
Kulaç mesafesi boy uzunluğuna eşit
Kollarınızı sağa ve sola açtığınızda iki uç nokta arasındaki mesafe boyunuzun uzunluğuna eşittir.
Kalp şekli ve koordinatlar
Denklemlerin polar koordinatlarda gösterilmesi sayesinde pek çok ilginç şekil elde edilebilir. Denklemlerden şekillerin oluşmasını izlemek pek çok insan için büyüleyicidir. Bu şekilde oluşturulan şekillerden birisi de ´kalp´tir. Kalp şeklini elde etmek için kulanılabilecek en basit denklem
r=b+a*cosV
dir. Bu kalp şekli aynı zamanda cardioid olarak da bilinir.
Fractal Geometri (Doğadaki Geometri)
Fraktal; Sonsuza dek iç içe geçmiş, gitgide küçülen ve alanı sonsuz olan şekillerdir. Bu şekillerin en önemli özelliği, ne kadar büyütürseniz büyütün, görüntünün her küçük ayrıntısının, bütün ile tıpatıp aynı karakteristikleri taşımalarıdır. Bilgisayarlar yardımıyla gerçekleştirilebilen matematiksel tekrarlar muhteşem grafik görüntüler elde edilmesini sağlar. Dağlar ve çiçekler içeren alttaki resimler bilgisayarla üretilmiş matematik fraktallerdir.
Pisagor ağacı
Kare ve üçgenleri kullanılarak aşağıdaki şekle benzer bir oluşum ortaya çıkarabiliyoruz.
Kaynakça
